Lecture 17 拍卖与机制设计初探：作为博弈的拍卖、贝叶斯博弈、Vickrey 拍卖
作为博弈的拍卖
考虑把一个单物品、密封报价、拍卖表述为博弈的一种方式：
- $n$ 个投标者中的每一个都是一个玩家。
- 每个玩家 $i$ 对被拍卖物品有一个估值 $v_i \in \mathbb{R}$。
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如果结果是：玩家 $i$ 赢得物品，并支付价格 ${\rm pr}$（不一定是他的估值或报价，而是由策略决定），那么玩家 $i$ 的收益为
\[u_i(\text{outcome}):=v_i - {\rm pr}\]其他所有玩家 $j \neq i$ 的收益为 $0$：$u_j(\text{outcome}) := 0$。
- 我们要求拍卖者必须设置拍卖规则，使其满足以下合理约束：给定（密封）报价 $(b_1, \cdots, b_n)$，最高报价者之一必须获胜，并且必须支付一个价格 ${\rm pr}$，满足 $0 \leq {\rm pr} \leq \max_i b_i$。
- 问题：拍卖者应该采用什么规则，使得对每个玩家 $i$ 来说，报出自己的“真实估值” $v_i$（即令 $b_i = v_i$）是一个占优策略？
- 注意：是规则迫使玩家报出自己的真实估值。
Vickrey 拍卖
在 Vickrey 拍卖，也就是二价密封报价拍卖中，某个最高报价者 $j$，其报价为 $b_j = \max_ib_i$，获得物品，但支付第二高报价：${\rm pr} = \max_{i\neq j}b_i$。
命题：对所有玩家 $i$ 来说，报出自己的真实估值 $v_i$，也就是令 $b_i := v_i$，是该博弈中的一个（弱）占优策略。
注：到目前为止，我们把拍卖表述为完全信息博弈，这种表述有非常可疑/不令人满意的地方：玩家 $i$ 通常并不知道其他玩家 $j \neq i$ 的估值 $v_j$。但如果把它看作完全信息博弈，那么每个玩家都知道所有其他人的估值。这完全不现实。因此，对于拍卖这类场景，我们需要一个更好的博弈论模型。
贝叶斯博弈（不完全信息博弈）[Harsanyi,’67,’68]
一个贝叶斯博弈 \(G = (N, (A_i)_{i\in N}, (T_i)_{i\in N}, (u_i)_{i\in N}, p)\) 包含：
- 一个有限玩家集合 $N = \lbrace 1, \cdots, n\rbrace$。
- 对每个玩家 $i \in N$（或对每种类型）有一个（有限）动作集合 $A_i$。对所有 $t_i \in T_i$ 和所有 $i\in N$，$A_{t_i} = A_i = (A_i^1, A_i^2, \cdots, A_n^{k_i})$。
- 对每个玩家 $i \in N$，有一个（有限）可能类型（或信号）集合 $T_i$。它表示玩家 $i$ 知道的一部分私人信息。
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对每个玩家 $i \in N$，有一个收益（效用）函数：
\[u_i: A_1\times \cdots \times A_n \times T_1 \times \cdots \times T_n \mapsto \mathbb{R}\] -
一个定义在类型上的（联合）概率分布：
\[p: T_1\times \cdots \times T_n\mapsto [0, 1]\]其中，令 $T = T_1 \times \cdots \times T_n$，我们必须有：
\[\sum\limits_{(t_1,\cdots, t_n) \in T} p(t_1, \cdots, t_n) = 1\]$p$ 有时被称为共同先验。
贝叶斯博弈中的策略与期望收益
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玩家 $i$ 的一个纯策略是一个函数 $s_i: T_i \mapsto A_i$。 也就是说，玩家 $i$ 知道自己的类型 $t_i$，并选择动作 $s_i(t_i)\in A_i$。
- 玩家类型根据（联合）分布 $p$ 随机选择。
- 玩家 $i$ 知道 $t_i\in T_i$，但不知道玩家 $j \neq i$ 的类型 $t_j$。
- 但每个玩家都知道联合分布 $p$，因此每个玩家 $i$ 都可以在给定自身类型 $t_i$ 的情况下，计算其他玩家类型上的条件概率 $p(t_{-i}\mid t_i)$。
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当玩家 $i$ 的类型为 $t_i$（它知道这一点）时，在纯策略组合 $s = (s_1, \cdots, s_n)$ 下，玩家 $i$ 的期望收益为：
\[U_i(s, t_i) = \sum_{t_{-i}} p(t_{-i}\vert t_i)u_i(s_1(t_1), \cdots, s_n(t_n), t_i, t_{-i})\]
贝叶斯纳什均衡
定义：如果对所有玩家 $i$、所有类型 $t_i \in T_i$，以及玩家 $i$ 的所有策略 $s_i^\prime$，都有
\[U_i(s, t_i) \geq U_i((s_i^\prime;s_{-i}), t_i).\]那么策略组合 $s = (s_1, \cdots, s_n)$ 是一个（纯）贝叶斯纳什均衡（BNE）。
命题：每个有限贝叶斯博弈都有一个混合策略 BNE。
证明：由纳什定理推出。每个有限贝叶斯博弈都可以编码为一个不完美信息的有限形式博弈：博弈树首先以概率 $p(t_1, \cdots, t_n)$ 随机选择一棵标记为 $(t_1, \cdots, t_n)$ 的子树。属于玩家 $i$、位于不同子树中但标记为同一类型 $t_i\in T_i$ 的所有节点，都处在同一个信息集中。
回到 Vickrey 拍卖
现在假设我们用一个贝叶斯博弈来建模一个密封报价单物品拍卖，其中估值上有某个任意先验概率分布 $p(v_1, \cdots, v_n)$（假设每个 $v_i$ 都在某个有限非负区间 $[0, v_{\max}]$ 内）。每个玩家 $i$ 的私人信息是 $t_i := v_i$。也就是说，每个玩家 $i$ 知道自己的估值 $v_i$，但不知道其他玩家 $j \neq i$ 的估值 $v_j$。
命题：在 Vickrey（二价密封报价）拍卖博弈中，对于任意先验 $p$，真实揭示的报价组合 $v = (v_1, \cdots, v_n)$ 是一个弱占优策略组合。
然而，在一价密封报价拍卖中（最高报价者获得物品并支付 ${\rm pr} = \max_ib_i$），真实报价确实可能不是占优策略。例如，如果玩家 $i$ 知道（以很高概率）自己的估值 $v_i$ 远高于其他玩家的估值，那么它可能想要报出 $b_i < v_i$，因为它仍然会赢得拍卖并支付更少。
命题：如果先验 $p$ 是某个区间 $[0, v_{\max}]$ 上 i.i.d. 均匀分布的乘积，那么二价和一价密封报价拍卖在它们（唯一的）对称 BNE 中的期望收入是相同的。
这实际上是机制设计中一个更一般结果的特例，称为收入等价原理。（但无论如何，请注意，单次收入最大化对拍卖者来说并不总是明智目标。）