Lecture 9 一般策略式博弈的求解 II：纳什均衡
计算纳什均衡：第一条线索
命题 在一个 $n$ 人博弈中，策略组合 $x^\ast$ 是一个纳什均衡，当且仅当存在 $w_1, \cdots, w_n \in \mathbb{R}$，使得以下条件成立：
- 对所有玩家 $i$，以及每个 $\pi_{i, j}\in {\rm support}(x_i^\ast)$，都有 $U_i(x_{-i}^*; \pi_{i, j}) = w_i$；并且
- 对所有玩家 $i$，以及每个 $\pi_{i, j} \notin {\rm support}(x_i^\ast)$，都有 $U_i(x_{-i}^*; \pi_{i, j}) \leq w_i$。
注：这样的 $w_i$ 必然满足 $w_i = U_i(x^\ast)$。
使用我们的第一条线索
- 假设我们以某种方式知道了某个纳什均衡 $x^\ast = (x_1^\ast, \cdots, x_n^\ast)$ 的支撑集 ${\rm support}_1 \subseteq S_1, \cdots, {\rm support}_n \subseteq S_n$。
- 那么，利用命题 1，为了找到一个 NE，我们只需要求解下面这个约束系统：
- $\forall$ 玩家 $i$，并且 $\forall j \in {\rm support}i$，$U_i(x{-i};\pi_{i,j}) = w_i$；
- $\forall$ 玩家 $i$，并且 $\forall j \notin {\rm support}i$，$U_i(x{-i};\pi_{i,j}) \le w_i$。
- $\forall$ 玩家 $i = 1, \cdots,n$，$\sum_{j=1}^{m_i}x_i(j) = 1$。
- $\forall$ 玩家 $i = 1, \cdots,n$，并且对 $j \in {\rm support}_i$，$x_i(j) \ge 0$。
- $\forall$ 玩家 $i = 1, \cdots,n$，并且对 $j \notin {\rm support}_i$，$x_i(j) = 0$。
-
这个系统有 $\sum_{i = 1}^n m_i + n$ 个变量：
\[x_1(1),\cdots, x_1(m_1), \cdots, x_n(1), \cdots, x_n(m_n), w_1, \cdots, w_n\]
我们如何找到 ${\rm support}_1 \& {\rm support}_2$？直接猜！
在 2 人博弈中寻找 NE 的第一个算法
$\text{Input}$：一个 2 人策略式博弈 $\Gamma$，由所有 $s\in S_1$ 和 $s^\prime \in S_2$ 对应的有理数收益 $u_1(s, s^\prime)$ 与 $u_2(s, s^\prime)$ 给出。（也就是说，输入是 $2 \cdot m_1 \cdot m_2$ 个有理数。）
$\text{Alogrithm}$：
- 对所有可能的 ${\rm support}_1\subseteq S_1$ 和 ${\rm support}_2 \subseteq S_2$：
- 检查对应的 LP 是否有可行解 $x^\ast, w_1, \cdots, w_n$。（例如使用 Simplex）
- 如果有，停止：该可行解 $x^\ast$ 就是一个纳什均衡（并且 $w_i = U_i(x^\ast)$）。
命题：每个有限 2 人博弈都有一个有理数 NE。（此外，这些有理数不会太大，也就是说，它们是多项式大小的。）
这个算法可以很容易地改成不仅寻找任意 NE，而是寻找一个好的 NE。例如：
寻找一个最大化效用社会福利的 NE：
-
对每一组支撑集，在求解 LP 约束时同时最大化目标函数
\[f(x,w) = w_1 + \cdots + w_n\] -
记录遇到过的最佳 NE，并在检查完所有支撑集后输出最优 NE。