Lecture 18 拍卖与机制设计 II：一点社会选择理论、VCG 机制与市场均衡

一个交换经济

• $n$ 个代理人，以及 $m$ 个可分商品（商品、服务等）。
• 每个代理人 $i$ 一开始拥有一份商品初始禀赋，$w_i = (w_{i, 1}, \cdots, w_{i, m}) \in \mathbb{R}^{m}_{\geq 0}$。

• 每个代理人 $i$ 有一个效用函数 $u_i(x)$，它定义了代理人对某个商品束 $x \in \mathbb{R}^m_{\geq 0}$ 的“喜欢”程度。

  假设效用函数满足某些“合理”条件：

  1. 连续性：它意味着价格的小变化不应该导致需求发生巨大变化。
  2. 拟凹性：换句话说，拟凹性意味着如果一个代理人喜欢两个商品束，那么它也会喜欢位于这两个商品束之间的任何商品束。
  3. 非饱和性：它意味着越多越好。换句话说，如果一个商品束 $x$ 给代理人 $i$ 带来效用 $u(x)$，那么任何商品束 $y$ 如果至少在一种商品上比 $x$ 更多，并且在其他商品上不少于 $x$，就应该给 $i$ 带来比 $x$ 更高的效用。
• 假设代理人的禀赋满足某些“合理条件”。例如，每个代理人对每种商品都有正禀赋。（实际上更弱的条件也足够：例如，每个代理人都有某个其他代理人想要的东西，并且由此形成的图是强连通的。）
• 给定一个价格向量 $p \in \mathbb{R}^m_{\geq 0}$，每个代理人 $i$ 有一个最优需求集合 $D_i(p) \subseteq \mathbb{R}^m_{\geq 0}$。这是商品束 $x_i$ 的集合，这些商品束能最大化代理人 $i$ 的效用，并且 $i$ 可以通过按价格 $p$ 出售自己的禀赋 $w_i$ 来负担这些商品束。

交换经济中市场均衡的存在性

一个非零价格向量 $p^\ast \geq 0$，连同每个代理人 $i$ 的商品束 $x_i^\ast$，构成交换经济的一个市场（价格）均衡，如果在价格 $p^\ast$ 下，对每个代理人 $i$，$x^\ast_i$ 都是一个最优需求商品束，并且在这些需求下市场出清（也就是基本上供给 = 需求）。换句话说：

1. 对所有代理人 $i$，$x^\ast_i\in D_i(p^\ast)$。（所有代理人在价格 $p^\ast$ 下优化效用）
2. $\sum_ix_i^\ast \leq \sum_i w_i$。（对任何商品来说，需求都不超过供给。）
3. 此外，对所有商品 $j$，如果 $(\sum_ix^\ast_i)_j < (\sum_iw_i)_j$，那么 $p_j^\ast = 0$。（换句话说，只有免费商品可以有过剩供给。）

定理（[Arrow-Debreu, 1954]） 每个交换经济都有一个市场（价格）均衡。

一个旁问题：我们真的需要钱吗？

• 我们不能在没有货币的情况下实现市场的同样“目标”吗？
• 换句话说，我们不能组织一个“物物交换经济”，在所有代理人之间进行一次同时的商品交换，从而为每个代理人达到帕累托最优的商品束吗？

注：福利经济学第一基本定理表明，任意市场均衡中的商品配置都是帕累托最优的。

我们将看到，没有货币时有些事情会变得不可能。

社会选择理论中的不可能定理

让我们把钱带回图景中 & Vickrey-Clarke-Groves（VCG）机制这一节确实有助于理解这些概念。

• 令 $C$ 为结果（候选项）集合，令 $L$ 为 $C$ 上所有全排序（偏好）（$\prec$）的集合。社会选择函数是一个函数 $f: L^n\mapsto C$。（$C = {c_1, \cdots, c_m}$，$L^n = L_1\times \cdots \times L_n$，$\prec_i\in Li$）
• 如果对某些 $\prec_1,\cdots,\prec_n\in L^n$，有 $c\prec_i c^\prime$（$c$ 不是玩家 $i$ 的最佳结果），并且 $c = f(\prec_1, \cdots, \prec_n)$，同时存在另一个排序 $\prec_i^\prime$ 使得 $c^\prime = f(\prec_1, \cdots, \prec_i^\prime, \cdots, \prec_n)$，那么称 $f$ 可以被玩家（投票者）$i$ 策略性操纵。
  • 注：更直观地说，玩家 $i$ 是占优的。$L_i$ 可以支配结果（候选项）的选择。
• 如果 $f$ 不能被任何人策略性操纵，那么称 $f$ 是激励相容的（策略免疫的）。
• 如果存在某个玩家 $i$，使得对所有 $\prec_1, \cdots, \prec_n$，都有 $f(\prec_1, \cdots, \prec_n) = c_i$，其中 $c_i$ 是玩家 $i$ 的最大结果，即 $\forall b\neq c_i,\ b\prec_i c_i$，那么 $f$ 是一个独裁制。

Wiki 版本：

• 令 $A$ 为结果集合，$N$ 为投票者或决策准则的数量。我们将 $A$ 上所有完整线性排序的集合记为 $L(A)$。

  一个（严格）社会福利函数（偏好聚合规则）是一个函数：

  \[F: L(A)^N \to L(A)\]

  它把投票者的偏好聚合为 $A$ 上的一个单一偏好排序。

定理 [Gibbard-Satterthwaite’73,’75]：如果 $\lvert C \rvert \ge 3$，并且 $f: L^n \mapsto C$ 是一个激励相容且映到 $C$ 上的社会选择函数（也就是说，所有结果都是可能的），那么 $f$ 是一个独裁制。（或者说，如果一个严格投票规则至少有 3 个可能结果，那么它不可操纵当且仅当它是独裁的。）

Arrow 不可能定理：不存在一种“真正好”的方式，能把人们对 $\ge 3$ 个备选项的偏好排序聚合为一个社会偏好排序。

让我们把钱带回图景中

• 令 $V$ 为投票者集合。
• 假设每个投票者 $i\in V$ 拥有的不是偏好排序，而是一个（非负）货币价值函数：$v_i: C \mapsto \mathbb{R}_{\ge 0}$，其中 $v_i(c)$ 表示候选项 $c$ 获胜对投票者 $i$ 来说值多少钱。

• 假设我们想要选择一个候选项 $c^\ast$，使整个投票者群体的总价值最大化，也就是说，我们想要选择：

  \[f(v_1, \cdots, v_n) = c^\ast \in \argmax_c\sum_{i\in V}v_i(c)\]
• 但投票者可能不诚实，并对自己的真实价值函数撒谎。（投票者 $i$ 可以声明一个不同的非负价值函数 $v_i^\prime$。）
• 我们能激励投票者说真话吗？
• 可以，如果我们允许要求他们付钱。

Vickrey-Clarke-Groves（VCG）机制

• 每个投票者 $i\in V$ 被要求提交自己的非负估值函数 $v_i^\prime$。（$v_i^\prime$ 可能是，也可能不是 $i$ 的实际估值函数 $v_i$。）

• 该机制随后计算一个最优候选项 $f(v_1^\prime, \cdots, v^\prime_n) := c^\ast$，使总价值最大化：

  \[f(v_1^\prime,\cdots, v_n^\prime):= c^\ast\in \argmax_c \sum_{k\in V}v_k^\prime(c)\]

  这个候选项 $c^\ast$ 被选为选举获胜者。

• 此外，每个投票者 $i$ 都必须向机制支付一笔金额 $p_i(c^\ast)$，它独立于 $v_i^\prime$，并由以下公式定义（即他给其他投标者造成的边际损害）：

  \[p_i(c^\ast) := (\max_{c^\prime\in C} \sum_{j\in V-\lbrace i\rbrace}v^\prime_j(c^\prime)) - \sum_{j\in V-\lbrace i\rbrace}v^\prime_j(c^\ast)\]

关键点 [1]：这个对其他参与者造成的边际损害（也就是每个成功出价个体最终支付的价格）可以这样计算：（在排除当前考虑的参与者后，拍卖中最佳出价组合的出价总和）−（其他获胜投标者在当前（最佳）出价组合中的出价）。如果第二好出价组合的出价总和与最佳组合相同，那么买家支付的价格将等于他们的初始出价。在所有其他情况下，买家支付的价格将低于他们的初始出价。

关键点 [2]：这些支付使所有投票者的激励对齐：每个投票者 $i$，即使知道其他投票者 $j \neq i$ 声明的估值函数 $v_j^\prime$，也会想声明一个函数 $v_i^\prime$，使得获胜者 $c^\ast = f(v_1^\prime,\cdots, v_n^\prime)$ 最大化 $v_i(c^\ast) + \sum_{k\in V-\lbrace i\rbrace}v^\prime_k(c^\ast)$。因此，应当令 $v^\prime_i:= v_i$。

VCG 的基本性质

令 $f(v_1^\prime, \cdots, v_n^\prime) = c^\ast$ 为 VCG 机制根据声明的（非负）估值函数 $v_1^\prime, \cdots, v_n^\prime$ 选出的获胜结果。那么对每个投票者 $i$，它的支付 $p_i(c^\ast)$ 和它的声称效用 $u^\prime_i(c^\ast) = v^\prime_i(c^\ast) - p_i(c^\ast)$ 都是非负的，即：

$p_i(c^\ast) \ge 0$ 且 $u_i^\prime(c^\ast) := v^\prime_i(c^\ast) - p_i(c^\ast) \ge 0$。

VCG 是激励相容的（即策略免疫）

定理（[Vickrey,1961],[Clarke,1971],[Groves,1973]） VCG 机制是激励相容的（即策略免疫的）。换句话说，对所有玩家 $i$ 来说，声明自己的真实估值函数 $v_i$ 是一个（弱）占优策略。

证明：假设玩家声明估值 $v_1^\prime, \cdots, v_n^\prime$。假设玩家 $i$ 的真实估值为 $v_i$。令 $c^\ast = f(v_i, v_{-i}^\prime)$，并令 $c^{\prime\prime}=f(v_i^\prime, v_{-i}^\prime)$。

回忆 $c^\ast\in \argmax_c v_i(c) + \sum_{k\in V- \lbrace i\rbrace}v^\prime_k(c^\ast)$。换句话说，对所有 $c\in C$，

\[v_i(c^\ast) + \sum_{k\in V-\lbrace i\rbrace}v_k^\prime(c^\ast) \geq v_i(c) + \sum_{k\in V-\lbrace i\rbrace}v^\prime_k(c)\]

因此，$u_i(c^\ast) =$

\[\begin{align*}v_i(c^\ast) - p_i(c^\ast) &= v_i(c^\ast) + (\sum_{k\in V-\lbrace i\rbrace}v^\prime_k(c^\ast)) - (\max_{c^\prime\in C}\sum_{j\in V-\lbrace i\rbrace}v^\prime_j(c^\prime)) \\&\geq v_i(c^{\prime\prime}) + (\sum_{k\in V-\lbrace i\rbrace}v_k^\prime(c^{\prime\prime})) - (\max_{c^\prime\in C}\sum_{j\in V-\lbrace i\rbrace}v^\prime_j(c^\prime)) \\ &= v_i(c^{\prime\prime}) - p_i(c^{\prime\prime}) = u_i(c^{\prime\prime}) \end{align*}\]