Lecture 2 混合策略、期望收益与纳什均衡

对于玩家 $i$，令 $S_i = \lbrace 1, \cdots, m_i\rbrace$ 表示一个由（纯）策略组成的有限集合。

玩家 $i$ 的一个混合策略是一个向量 $x_i = (x_i(1), \cdots, x_i(m_i))$，这些概率之和为 $1$。令 $X_i$ 表示玩家 $i$ 的混合策略集合。

对于一个 $n$ 人博弈，令

\[X = X_1 \times \cdots \times X_n\]

表示所有可能的混合策略组合，或称混合策略“剖面”（profiles）的集合。

令 $x = (x_1, \cdots, x_n) \in X$ 为一个混合策略组合。对于 $s = (s_1, \cdots, s_n) \in S$，它是一个纯策略组合（其中 $s_i$ 是 $S_i = \lbrace 1, \cdots, {m_i}\rbrace$ 中的一个元素），定义

\[x(s) := \prod_{j = 1}^{n}x_j(s_j)\]

为在混合策略组合 $x$ 下得到组合 $s$ 的概率。显然，$x_j(s_j)$ 是玩家 $j$ 选择纯策略 $s_j$ 的概率。

定义： 玩家 $i$ 在混合策略组合 $x = (x_1, \cdots, x_n) \in X$ 下的期望收益为：

\[U_i(x) = \sum_{s\in S} x(s)\cdot u_i(s)\]

定义：如果对于所有 $y_i \in X_i$，都有

\[U_i(x_{-i};z_i) \geq U_i(x_{-i};y_i)\]

则称一个（混合）策略 $z_i \in X_i$ 是玩家 $i$ 对 $x_{-i}$ 的最优反应。

定义：对于一个策略式博弈 $\Gamma$，如果对每个玩家 $i$ 来说，$x_i$ 都是对 $x_{- i}$ 的最优反应，那么策略组合 $x = (x_1, \cdots, x_n) \in X$ 是一个混合纳什均衡。

换句话说，对于每个玩家 $i = 1, \cdots, n$，以及每个混合策略 $y_i \in X_i$，都有

\[U_i(x_{-i};x_i)\geq U_i(x_{-i};y_i)\]

换句话说，没有任何玩家能够通过从混合策略组合 $x = (x_1, \cdots, x_n)$ 中单方面偏离来提高自己的收益。

如果除此之外，每个 $x_i$ 都是某个 $j \in S_j$ 对应的纯策略 $\pi_{i, j}$，则称 $x$ 为纯纳什均衡。