Lecture 3 纳什定理

纳什定理

博弈论基本定理

定理（Nash 1950） 每个有限 $n$ 人策略式博弈都存在一个混合纳什均衡。

Brouwer 不动点定理

定理（Brouwer, 1909） 每个连续函数 $f: D \to D$，如果把一个紧且凸的非空子集 $D \subseteq \mathbb{R}^m$ 映射到其自身，那么它都有一个“不动点”。也就是说，存在 $x^\ast \in D$，使得 $f(x^\ast) = x^\ast$。

事实：策略组合集合 $X = X_1 \times \cdots \times X_n$ 是 $\mathbb{R}^m$ 中的一个紧且凸的子集，其中 $m = \sum_{i = 1}^n m_i$，且 $m_i = \lvert S_i \rvert$。

纳什定理的证明

证明：我们将定义一个连续函数 $f: X \to X$，其中 $X = X_1 \times \cdots \times X_n$；然后证明如果 $f(x^\ast) = x^\ast$，那么 $x^\ast = (x_1^\ast, \cdots, x_n^\ast)$ 必然是一个纳什均衡。

命题：一个策略组合 $x^\ast = (x_1^\ast, \cdots, x_n^\ast) \in X$ 是纳什均衡，当且仅当对于每个玩家 $i$，以及每个纯策略 $\pi _{i, j}, j \in S_i$，都有：

\[U_i(x^\ast) \geq U_i(x^\ast_{-i}; \pi_{i, j})\]

命题的证明：如果 $x^\ast$ 是一个 NE，那么根据定义，显然有 $U_i(x^\ast) \geq U_i(x_{-i}^\ast; \pi_{i, j})$。

反方向：通过计算容易看出，对于任意混合策略 $x_i \in X_i$，

\[U_i(x_{-i}^\ast; x_i) = \sum _{j= 1}^{m_i}x_i(j) \cdot U_i(x^\ast_{-i};\pi_{i, j}) \leq U_i(x^\ast)\]

这个不等式成立，因为我们假设 $U_i(x^\ast) \geq U_i(x_{-i}^\ast;\pi_{i,j})$。因此，每个 $x_i^\ast$ 都是对策略 $x_{-i}^\ast$ 的最优反应。换句话说，$x^\ast$ 是一个纳什均衡。

有了这个命题，我们可以把证明 $x^\ast$ 是 NE 的目标重新表述为：寻找一个 $x^\ast$，使得

\[U_i(x_{-i}^\ast; \pi_{i, j}) \leq U_i(x^\ast)\]

对所有玩家 $i \in N$，以及所有 $j \in \lbrace 1, \cdots, m_i\rbrace$ 都成立。

对于一个混合策略组合 $x = (x_1, \cdots, x_n) \in X$，令

\[\varphi_{i, j}(x) = \max\lbrace 0, U_i(x_{-i};\pi_{i, j}) - U_i(x)\rbrace\]

如下定义 $f: X \to X$：对于 $x = (x_1, \cdots, x_n) \in X$，令

\[f(x) = (x_i^\prime, \cdots, x_n^\prime)\]

其中对于所有 $i$，以及 $j = 1, \cdots, m_i$，

\[x_i^\prime(j) = \frac{x_i(j) + \varphi_{i,j}(x)}{1 + \sum_{k=1}^{m_i}\varphi_{i, k}(x)}\]

因此，根据 Brouwer 定理，存在 $x^\ast$ 使得 $f(x^\ast) = x^\ast$。

现在我们需要证明 $x^\ast$ 是一个 NE。

对于每个 $i$，以及 $j = 1, \cdots, m_i$，

\[x_i^\ast(j) = \frac{x_i^\ast(j) + \varphi_{i, j}(x^\ast)}{1 + \sum_{k = 1}^{m_i}\varphi_{i, k}(x^\ast)}\]

因此，

\[x_i^*(j) \sum_{k = 1}^{m_i} \varphi_{i, k}(x^\ast) = \varphi_{i, j}(x^\ast)\]

我们将证明，这实际上意味着对于所有 $j$，$\varphi_{i, j}(x^\ast)$ 都必须等于 $0$。

命题：对于任意混合策略组合 $x$，对每个玩家 $i$，都存在某个 $j$，使得 $x_i(j) > 0$ 且 $\varphi_{i, j}(x) = 0$。

命题的证明：由于 $U_i(x)$ 是各个 $U_i(x_{-i}; \pi_{i, j})$ 按 $x_i$ 中权重加权得到的平均值，因此在 $x_i$ 中被使用的策略里，也就是满足 $x_i(j) > 0$ 的策略里，必然存在某个 $j$，使得 $U_i(x_{-i};\pi_{i, j})$ 不超过这个加权平均值。也就是说，

\[U_i(x_{-i};\pi_{i, j}) \leq U_i(x)\]

因此，

\[\varphi_{i, j}(x) = \max\lbrace 0, U_i(x_{-i};\pi_{i, j}) - U_i(x)\rbrace = 0\]

于是，对于这样的 $j$，有 $x^\ast_i(j) > 0$ 且

\[x^\ast_i(j) \sum_{k = 1}^{m_i} \varphi_{i, k}(x^\ast) = \varphi_{i, j}(x^\ast) = 0\]

但是，由于所有 $\varphi_{i, k}(x^\ast)$ 都 $\geq 0$，并且 $x^\ast_i > 0$，这意味着对于所有 $k = 1, \cdots, m_i$，都有 $\varphi_{i, k}(x^\ast) = 0$。因此，对于所有玩家 $i$，以及 $j = 1, \cdots, m_i$，

\[U_i(x^\ast_{-i}; \pi_{i, j}) \leq U_i(x^\ast)\]

证毕。

关于纳什均衡的有用推论

\[U_i(x^\ast) = U_i(x^\ast_{-i};\pi_{i, j})\]

只要 $x^\ast_i(j) > 0$。也就是说，每个这样的 $\pi_{i, j}$ 本身就是 对 $x_{-i}^*$ 的最优反应。

证明：如果 $x^\ast$ 是一个 NE，那么对于所有 $j = 1, \cdots, m_i$，必然有 $U_i(x^\ast) \geq U_i(x^\ast_{-i}; \pi_{i, j})$。

由于 $U_i(x^\ast) = \sum_{j = 1}^{m_i}x^\ast_i(j) \cdot U_i(x^\ast_{-i};\pi_{i, j})$，考虑下面两种情况：

1. 如果对于所有 $j = 1, \cdots, m_i$，都有 $U_i(x^\ast) > U(x^\ast_{-i};\pi_{i, j})$，那么 $U_i(x^\ast) > \sum_{j = 1}^{m_i}x^\ast_i(j) \cdot U_i(x^\ast_{-i};\pi_{i, j})$，这不可能成立；
2. 如果对于某些 $j = 1, \cdots, m_i$，有 $U_i(x^\ast) > U_i(x^\ast_{-i};\pi_{i, j})$，那么当 $U_i(x^\ast) = \sum_{j = 1}^{m_i}x^\ast_i(j) \cdot U_i(x^\ast_{-i};\pi_{i, j})$ 成立时，必然存在某个 $j^\prime = 1, \cdots, m_i$ 且 $j^\prime \neq j$，使得 $U_i(x^\ast) < U_i(x^\ast_{-i};\pi_{i, j^\prime})$，但这与 NE 的性质不符。

总之，如果 $x_i^\ast(j) > 0$，那么 $U_i(x^\ast)$ 不可能大于 $U_i(x_{-i}^\ast; \pi_{i,j})$。因此，$U_i(x^\ast) = U_i(x^\ast_i; \pi_{i, j})$。

NE 不一定是帕累托最优的

给定一个 $n$ 人博弈中的策略组合 $x \in X$，（纯粹功利主义意义下的）社会福利为：

\[U_1(x) + U_2(x) + \cdots + U_n(x)\]

如果不存在另一个策略组合 $x^\prime \in X$，使得对所有 $i$ 都有 $U_i(x^\prime) \geq U_i(x)$，并且对某个 $j$ 有 $U_j(x^\prime) > U_j(x)$，那么策略组合 $x \in X$ 是帕累托有效的（也称为帕累托最优）。

进化稳定策略

定义：如果 $S_1 = S_2$，并且对于所有 $s_1, s_2 \in S_1$，都有 $u_1(s_1, s_2) = u_2(s_2, s_1)$，那么一个 2 人博弈是对称的。

定义：在一个 2 人对称博弈中，如果混合策略 $x_1^\ast$ 满足以下条件，那么它是一个进化稳定策略（ESS）：

1. $x_1^\ast$ 是对自身的最优反应，也就是说，$x^\ast = (x_1^\ast, x_1^\ast)$ 是一个对称 NE；并且
2. 如果 $x_1^\prime \neq x_1^\ast$ 是另一个对 $x_1^\ast$ 的最优反应，那么 $U_1(x^\prime_1, x^\prime_1) < U_1(x_1^\ast, x^\prime_1)$。

Nash 还证明了每个对称博弈都有一个对称 NE，即 $(x_1^\ast, x_1^\ast)$。然而，并不是每个对称博弈都有 ESS。